НМТ з математики, 17 травня 2025

Розв'яжіть нерівність $7^x \le \dfrac{1}{49}$.

• А $\left[\dfrac{1}{7};\,+\infty\right)$
• Б $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{2}\right]$
• В $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{243}\right]$
• Г $(-\infty;\,-2]$
• Д $[-2;\,+\infty)$

На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. За даними діаграми визначте, у скільки разів кількість працівників віком від 20 до 29 років перевищує кількість працівників, яким 60 і більше років.

• А 10
• Б 32
• В 18
• Г 9
• Д 6

Сторона $CD$ паралелограма $ABCD$ утворює з прямою $AD$ кут, градусна міра якого дорівнює $55^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $MAB$.

• А $35^\circ$
• Б $125^\circ$
• В $145^\circ$
• Г $55^\circ$
• Д $135^\circ$

$|2 - 80 \cdot 0{,}1| = $

• А $1{,}2$
• Б $-6$
• В $6$
• Г $7{,}8$
• Д $-7{,}8$

Трикутна призма має

• А дві основи та три бічні грані
• Б три основи та дві бічні грані
• В дві основи та чотири бічні грані
• Г одну основу та чотири бічні грані
• Д одну основу та три бічні грані

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на відрізку $[-5;\,5]$. Позначте властивість, яку має ця функція.

• А набуває лише додатних значень
• Б парна
• В має дві точки екстремуму
• Г непарна
• Д зростає на всій області визначення

Які з наведених тверджень є правильними? I. Діагоналі будь-якого прямокутника є бісектрисами його кутів. II. Діагоналі будь-якого прямокутника ділять його на чотири рівні трикутники. III. Діагоналі будь-якого прямокутника рівні.

• А лише I
• Б лише II
• В лише II і III
• Г лише I і III
• Д лише III

$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = $

• А $\sqrt{5} - 2$
• Б $1$
• В $2 - \sqrt{5}$
• Г $3$
• Д $9 - 4\sqrt{5}$

Ціна акції компанії зросла на $10\,\%$ від її початкової ціни. Якою була початкова ціна (у грн) цієї акції, якщо її ціна тепер становить $990$ грн?

• А $900$
• Б $1089$
• В $891$
• Г $1000$
• Д $980$

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у початку координат, якій належить точка $A(0;\,0;\,-5)$. Яка з наведених точок також належить цій сфері?

• А $(5;\,5;\,5)$
• Б $(0;\,0;\,10)$
• В $(0;\,0;\,5)$
• Г $(0;\,1;\,4)$
• Д $(5;\,5;\,0)$

Обчисліть суму коренів рівняння $15(x + 3)^2 - 375 = 0$.

• А $2$
• Б $0$
• В $6$
• Г $-6$
• Д $-3$

Периметр ромба дорівнює $80$ см, а його висота – $12$ см. Визначте довжину (у см) меншої діагоналі ромба.

• А $8\sqrt{5}$
• Б $4\sqrt{10}$
• В $20$
• Г $16$
• Д $6\sqrt{10}$

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1 = 32$, $b_2 = 8$. Обчисліть $\dfrac{b_5}{b_7}$.

• А $4$
• Б $\dfrac{1}{16}$
• В $7$
• Г $\dfrac{1}{4}$
• Д $16$

Розв'яжіть систему рівнянь $$\begin{cases} \dfrac{x}{2x+y} = \dfrac{1}{5} \\ 4x + 2 = y \end{cases}$$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$

• А $-8$
• Б $12$
• В $6$
• Г $8$
• Д $-6$

Обчисліть значення виразу $\log_5(5ab)$, якщо $\log_5(ab) = 0{,}7$.

• А $1{,}7$
• Б $5{,}7$
• В $5^{1{,}7}$
• Г $0{,}7$
• Д $3{,}5$

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ$ (див. рисунок). Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
• 2 Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює
• 3 Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює
• А $9$ см.
• Б $20\sqrt{3}$ см.
• В $21$ см.
• Г $10\sqrt{3}$ см.
• Д $18$ см.

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А–Д), у яких лежить графік цієї функції (зразок розміщення чвертей показано на рисунку).

• 1 $y = -3 - x^2$
• 2 $y = \dfrac{3}{x}$
• 3 $y = \operatorname{tg} x$
• А лише I та II
• Б лише I та III
• В лише III та IV
• Г лише I та IV
• Д I, II, III та IV

Узгодьте вираз (1–3) й точку (А–Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де $e \approx 2{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

• 1 $2e \cdot \dfrac{1}{e}$
• 2 $\ln 1$
• 3 $(e-1)(e+1) - e^2$
• А $K$
• Б $L$
• В $M$
• Г $N$
• Д $P$

Визначте кількість цілих значень $a$, що належать проміжку $[-9;\,9]$, за кожного з яких корінь рівняння $ax - 5 = a + 2x$ є додатним.

Функція $F(x) = 4x^3 - 3x^2 + 9$ є первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(-\infty;\,+\infty)$. Обчисліть $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$.

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських мап і краєвидів. Вона має $4$ різні листівки такої тематики й конверти жовтого і синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є рівносторонній трикутник, висота піраміди дорівнює $4\sqrt{6}$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S}{\sqrt{7}}$.