НМТ з математики, 2 червня 2025

Спростіть вираз $0{,}6x^3 \cdot 5x^4$.

• А $3x^7$
• Б $30x^7$
• В $3x^{12}$
• Г $0{,}3x^7$
• Д $0{,}3x^{12}$

На графіку відображено зміну температури повітря (у °C) протягом доби в деякому місті. За графіком визначте сумарну кількість годин, протягом яких температура повітря не перевищувала $10\,°C$.

• А $9$
• Б $14$
• В $11$
• Г $10$
• Д $16$

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола з центром у точці $O$. Знайдіть градусну міру кута $AOB$, якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини.

• А $180°$
• Б $100°$
• В $60°$
• Г $120°$
• Д $135°$

Укажіть число, яке задовольняє систему нерівностей $\begin{cases} x > -3, \\ x \le 7. \end{cases}$

• А $-3$
• Б $-10$
• В $10$
• Г $5$
• Д $-6$

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC$. Скільки всього різних площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину $S$?

• А жодної
• Б лише одну
• В лише дві
• Г лише три
• Д безліч

На рисунку 1 зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $(-\infty;\,+\infty)$. На рисунку 2 зображено графік функції, отриманий унаслідок паралельного перенесення графіка функції $y = f(x)$ вздовж осі $x$. Графік якої функції отримали внаслідок цього перенесення?

• А $y = f(x+2)$
• Б $y = f(x) - 2$
• В $y = 2f(x)$
• Г $y = f(x-2)$
• Д $y = f(x) + 2$

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.
II. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за $90°$.
III. Навпроти найбільшої сторони трикутника знаходиться найбільший кут.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та III
• Д лише II та III

$\log_5 5^{10} =$

• А $1$
• Б $2$
• В $10$
• Г $50$
• Д $5$

Для миття рук у середньому використовують $25$ л води, $60\,\%$ якої марнується при її намилюванні. Скільки води можна зберегти, закриваючи кран під час намилювання рук?

• А $16$ л
• Б $15$ л
• В $10$ л
• Г $18$ л
• Д $12$ л

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(5;\,-4;\,0)$ і $B(7;\,2;\,-2)$. Визначте координати точки $C$, яка симетрична до точки $A$ відносно точки $B$.

• А $(2;\,6;\,-2)$
• Б $(12;\,-6;\,2)$
• В $(9;\,8;\,4)$
• Г $(6;\,-1;\,-1)$
• Д $(9;\,8;\,-4)$

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2x-7}{3} = \dfrac{5x+4}{2}$.

• А $-\dfrac{11}{26}$
• Б $-2\dfrac{4}{11}$
• В $-1$
• Г $\dfrac{2}{11}$
• Д $2\dfrac{4}{11}$

У рівнобічній трапеції $ABCD$ ($AB = CD$) на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO = OD$, $\angle AOB = 45°$, $AD : BC = 5 : 2$, $AD = b$. Знайдіть площу цієї трапеції.

• А $\dfrac{7b^2}{25}$
• Б $\dfrac{7b^2\sqrt{2}}{50}$
• В $\dfrac{21b^2}{100}$
• Г $\dfrac{7b^2}{50}$
• Д $\dfrac{7b^2}{45}$

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Знайдіть значення виразу $a_1 - a_3$.

• А $-12$
• Б $6$
• В $-6$
• Г $30$
• Д $12$

Спростіть вираз $x(x - 2y) - (x - y)^2$.

• А $-2xy$
• Б $-4xy$
• В $-y^2$
• Г $-4xy - y^2$
• Д $y^2$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $1 - \log_{0{,}5} x = 3$.

• А $(-\infty;\,0)$
• Б $[0;\,1)$
• В $[1;\,3)$
• Г $[3;\,10)$
• Д $[10;\,+\infty)$

Прямокутник $ABKM$ складається з квадрата $ABCD$ та прямокутника $DCKM$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $40$ см, $CM = 26$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д).

• 1 Сторона квадрата $ABCD$
• 2 $CK$
• 3 Відстань між центром квадрата $ABCD$ і точкою перетину діагоналей прямокутника $ABKM$
• А $10$ см
• Б $12$ см
• В $16$ см
• Г $17$ см
• Д $24$ см

Установіть відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А–Д).

• 1 $y = -x^3$
• 2 $y = \sqrt{x}$
• 3 $y = \cos x$
• А є парною
• Б має лише одну спільну точку з колом $x^2 + y^2 = 9$
• В немає спільних точок з прямою $x = 0$
• Г графік функції розташований лише в другій координатній чверті
• Д набуває всіх значень з проміжку $(-\infty;\,+\infty)$

Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням (А–Д).

• 1 $\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
• 2 $|\pi + 2| - \pi$
• 3 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
• А $-\dfrac{1}{2}$
• Б $\dfrac{1}{2}$
• В $-2$
• Г $2$
• Д $\sqrt{2}$

Визначте найбільше значення $a$, за якого має корені рівняння $\dfrac{3^{\,2a - 5x + 2} - \sqrt{27}}{\sqrt{x} + \sqrt{3 - x}} = 0$.

Дотична, проведена до графіка функції $y = f(x)$ у точці з абсцисою $x_0 = 3$, є паралельною до прямої $y = 1{,}5x + 5$. Знайдіть значення похідної функції $g(x) = \dfrac{18}{x} - f(x)$ у точці з абсцисою $x_0 = 3$.

У салоні пасажирського літака $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ обабіч проходу) (див. рисунок). Реєстраційна система навмання вибирає для пасажира посадкове місце. Ймовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює $\dfrac{1}{45}$. Знайдіть $n$.

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см². Знайдіть об'єм призми (у см³).