НМТ з математики, 12 червня 2025

$4x + x^2 - 5 - 2x^2 - 4x + 19 = $

• А $2x^2 - 3x + 14$
• Б $x^2 + 14$
• В $-x^2 + 14$
• Г $2x^2 - 3x - 24$
• Д $-x^2 - 24$

На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної роботи. Визначте кількість учнів, які готувалися до контрольної роботи не менш як $2$ години.

• А $13$
• Б $9$
• В $11$
• Г $20$
• Д $16$

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $AC$ утворює зі сторонами $AD$ і $CD$ кути $18^\circ$ і $43^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма.

• А $61^\circ$
• Б $72^\circ$
• В $51^\circ$
• Г $47^\circ$
• Д $119^\circ$

Укажіть варіант, що містить корінь рівняння $2 - |x| = 0{,}1$.

• А $1$
• Б $-1{,}9$
• В $-0{,}1$
• Г $-3$
• Д $2{,}1$

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Скільки всього є площин, що містять грані куба, паралельних прямій $AB$?

• А жодної
• Б лише одна
• В лише дві
• Г лише три
• Д більше як три

Графік функції $y = x^3$ паралельно перенесли на $4$ одиниці вниз уздовж осі $y$. Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

• А $y = x^3 - 4$
• Б $y = (x - 4)^3$
• В $y = 4x^3$
• Г $y = (x + 4)^3$
• Д $y = x^3 + 4$

Які з наведених тверджень є правильними? I. Центр кола, уписаного в трапецію, лежить на середній лінії трапеції. II. Центр кола, уписаного в трапецію, збігається з точкою перетину діагоналей трапеції. III. Центр кола, описаного навколо трапеції, обов'язково знаходиться на її більшій основі.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та II
• Д лише I та III

Якщо $a = \dfrac{(b + c) \cdot d}{2}$, то $c = $

• А $\dfrac{2a - b}{d}$
• Б $\dfrac{2a}{d} + b$
• В $2ad - bd$
• Г $\dfrac{2a}{d} - b$
• Д $\dfrac{2a + b}{d}$

Під час акції «Чорна П'ятниця» магазин пропонував знижку $70\ \%$ на всі чорні гаманці. Покупець заплатив $105$ грн за чорний гаманець зі знижкою. Якою була початкова вартість цього гаманця до початку акції?

• А $150$ грн
• Б $175$ грн
• В $255$ грн
• Г $350$ грн
• Д $315$ грн

У прямокутній системі координат у просторі задано кулі з центрами в точках $O_1(1;\,-4;\,10)$ і $O_2(7;\,4;\,-14)$, що мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню серед наведених може дорівнювати радіус більшої кулі?

• А $10$
• Б $12$
• В $17$
• Г $26$
• Д $13$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 7} = \sqrt{3}$.

• А $(-7;\,-6)$
• Б $(-6;\,0)$
• В $(0;\,1)$
• Г $(1;\,6)$
• Д $(6;\,7)$

На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $KC = 6\sqrt{3}$, $\angle BKC = 90^\circ$, $\angle ABK = 30^\circ$ (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника.

• А $24 + 6\sqrt{3}$
• Б $18$
• В $24\sqrt{3} + 12$
• Г $36$
• Д $24\sqrt{3} + 6$

Знайдіть похідну функції $f(x) = 6x - 2\cos x$ в точці з абсцисою $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$.

• А $3\pi - 2$
• Б $6$
• В $3\pi + 2$
• Г $4$
• Д $8$

$\dfrac{20^7 \cdot 0{,}1^6}{4^5} = $

• А $0{,}0025$
• Б $0{,}25$
• В $\dfrac{1}{256}$
• Г $1{,}25$
• Д $8$

Розв'яжіть нерівність $\log_3 (1 - 2x) < 2$.

• А $(-\infty;\,-4)$
• Б $\left(-\dfrac{1}{2};\,4\right)$
• В $(-\infty;\,4)$
• Г $\left(-4;\,\dfrac{1}{2}\right)$
• Д $(-4;\,+\infty)$

На рисунку зображено квадрат $ABCD$. На стороні $BC$ вибрано точку $K$, так що $KC = 4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK$. Пряма, що проходить через точку $M$, паралельна стороні $BC$, і перетинає $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно. $NM = 6$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А–Д).

• 1 $AB$
• 2 $MP$
• 3 $AK$
• А $10$ см
• Б $12$ см
• В $16$ см
• Г $18$ см
• Д $20$ см

До кожного речення (1–3) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Пряма $y = -2x$
• 2 Пряма $y = 2x + 2$
• 3 Пряма $y = -2x + 4$
• А утворює гострий кут із додатним напрямком осі $x$.
• Б симетрична прямій $y = 2x + 4$ відносно осі $y$.
• В є паралельною прямій $y = x$.
• Г проходить через початок координат.
• Д не перетинає жодну з осей координат.

Число $\varphi = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$ називають золотим перетином, яке тісно пов'язане з послідовністю чисел Фібоначчі. Узгодьте вираз (1–3) та проміжок (А–Д), якому належить значення цього виразу.

• 1 $\varphi^0$
• 2 $\left(\sqrt{5} - 1\right)\varphi$
• 3 $\log_{\frac{1}{5}} (2\varphi - 1)$
• А $(-\infty;\,-1]$
• Б $(-1;\,0]$
• В $(0;\,1]$
• Г $(1;\,2]$
• Д $(2;\,+\infty)$

Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases} y + (x - 1)^2 = 5a, \\ x^2 - 2x + y^2 + 8y = 47 \end{cases}$ має єдиний розв'язок.

Функція $f(x)$ є парною, а функція $g(x)$ – непарна. Обчисліть значення виразу $\dfrac{4g(-x_0) + 2f(x_0)}{5f(-x_0)}$, якщо $f(x_0) = 1$, а $g(x_0) = -3$.

У салоні пасажирського літака $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ крісла обабіч проходу) (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в трьох перших рядах, дорівнює $\dfrac{1}{14}$. Знайдіть $n$.

Твірна конуса і бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ см$^2$.