НМТ з математики, 4 червня 2025

$3 : 0{,}3 = $

• А $2{,}7$
• Б $0{,}1$
• В $\dfrac{1}{9}$
• Г $10$
• Д $0{,}9$

У кав'ярні пропонують відвідувачам $12$ видів кави і $10$ видів десерту. Скільки всього є варіантів вибору однієї кави або одного десерту?

• А $45$
• Б $66$
• В $120$
• Г $231$
• Д $22$

На рисунку зображено чотирикутник, у якому два кути – прямі, третій кут дорівнює $100^\circ$. Визначте градусну міру четвертого кута цього чотирикутника.

• А $100^\circ$
• Б $90^\circ$
• В $80^\circ$
• Г $20^\circ$
• Д $70^\circ$

Розв'яжіть рівняння $3^{x+1} = 81$.

• А $5$
• Б $3$
• В $2$
• Г $-3$
• Д $4$

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Скільки всього є прямих, паралельних прямій $AB$, що містять ребра куба?

• А жодної
• Б лише одна
• В лише дві
• Г лише три
• Д більше як три

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-5;\,5]$. Укажіть ординату точки перетину графіка функції з віссю $y$.

• А $1$
• Б $6$
• В $3$
• Г $-4$
• Д $0$

У ромбі $ABCD$ з вершини тупого кута проведено висоту $BM$, яка ділить сторону $AD$ навпіл (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними? I. $BM \perp BC$. II. Трикутник $ABD$ є рівностороннім. III. $\angle BAD$ удвічі менший від $\angle ADC$.

• А лише I
• Б лише I та II
• В лише I та III
• Г лише II та III
• Д I, II та III

Спростіть вираз $p^2 \cdot \left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4$.

• А $p^{16}$
• Б $p^{14}$
• В $p^{10}$
• Г $p^{8}$
• Д $p^{12}$

У майстерні шоколаду виготовляють крафтові цукерки. Позначте можливу кількість виготовлених цукерок, якщо всіх їх розфасували без залишку в коробки по $6$ штук.

• А $102$
• Б $105$
• В $112$
• Г $106$
• Д $99$

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $C(-1;\,3;\,-4)$ і $D$. Точка $D$ є проєкцією точки $C$ на вісь $x$. Знайдіть відстань між точками $C$ і $D$.

• А $\sqrt{10}$
• Б $\sqrt{17}$
• В $1$
• Г $5$
• Д $4$

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_5 x + 1 = \log_5 12$.

• А $[0;\,2)$
• Б $[2;\,4)$
• В $[4;\,6)$
• Г $[6;\,8)$
• Д $[8;\,+\infty)$

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O$. Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC = 8$ см, $BD = 6$ см, $\cos \angle AOD = -\dfrac{1}{4}$.

• А $\sqrt{31}$ см
• Б $2\sqrt{7}$ см
• В $\sqrt{22}$ см
• Г $5$ см
• Д $\sqrt{19}$ см

Укажіть первісну функції $f(x) = 3\cos x - x$.

• А $F(x) = -3\sin x - \dfrac{x^2}{2}$
• Б $F(x) = 3\sin x - 1$
• В $F(x) = 3\sin x - \dfrac{x^2}{2}$
• Г $F(x) = 3\sin x$
• Д $F(x) = -3\sin x - 1$

$\left(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{5}x\right) = $

• А $\dfrac{4}{25}x^2 - \dfrac{1}{9}$
• Б $\dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{15}x + \dfrac{4}{25}x^2$
• В $\dfrac{4}{25}x^2 + \dfrac{1}{9}$
• Г $\dfrac{2}{5}x^2 - \dfrac{1}{3}$
• Д $\dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{25}x^2$

Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 3x - 2 \ge 5x - 6, \\ 7x + 1 \le 4x - 5. \end{cases}$

• А $(-\infty;\,2]$
• Б $[2;\,+\infty)$
• В $[-2;\,2]$
• Г $(-\infty;\,-2]$
• Д $[-2;\,+\infty)$

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ ($AB = BC$) і $CMN$ ($CM = MN$), що лежать в одній площині. $AN = 8$ см, $AB = 2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А–Д).

• 1 Відстань від $B$ до сторони $AC$
• 2 $BM$
• 3 Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$
• А $4$ см
• Б $6$ см
• В $7$ см
• Г $8$ см
• Д $10$ см

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,6]$. Узгодьте проміжок (1–3) із функцією (А–Д), що описує графік функції $y = f(x)$ на цьому проміжку.

• 1 $[-4;\,0]$
• 2 $(0;\,2]$
• 3 $(2;\,6]$
• А $y = x^3$
• Б $y = 12 - 2x$
• В $y = -\sqrt{x}$
• Г $y = 2^x$
• Д $y = \sqrt{-x}$

Узгодьте вираз (1–3) й точку (А–Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де $e \approx 2{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

• 1 $e \cdot \dfrac{1}{2e}$
• 2 $\ln 2e - \ln 2$
• 3 $|1 - e| - e$
• А $K$
• Б $L$
• В $M$
• Г $N$
• Д $P$

Знайдіть усі значення $a$, за кожного з яких рівняння $\dfrac{x^2 - 4x + 3}{3x - a} = \dfrac{42 + 3x - x^2}{3x - a}$ має один корінь. Якщо таке значення $a$ одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень $a$ кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Графіком функції $y = f(x)$ є парабола з вершиною в початку координат. Обчисліть $f(2{,}5)$, якщо $f'(1) = -4$.

На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної роботи. Обчисліть імовірність того, що випадково обраний учень готувався до контрольної роботи не менш як $2$ години.

Задано сферу з площею поверхні $648\pi$ см$^2$ і правильну чотирикутну піраміду. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу сфери. Знайдіть об'єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ$.