НМТ з математики, 11 червня 2025

Укажіть кількість цілих чисел, що є розв'язками нерівності $-4 < x \le 2{,}2$.

• А $5$
• Б $6$
• В $7$
• Г $8$
• Д $9$

На дитячій каруселі розташовано $19$ транспортних засобів: човники, літачки й машинки (див. рисунок). Дмитрик навмання сідає в один із транспортних засобів, окрім літачків. Яка ймовірність того, що він сяде в машинку?

• А $\dfrac{1}{5}$
• Б $\dfrac{5}{19}$
• В $\dfrac{1}{3}$
• Г $\dfrac{2}{3}$
• Д $\dfrac{1}{15}$

Визначте зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$, якщо $\angle B = 50^\circ$, $\angle C = 25^\circ$ (див. рисунок).

• А $15^\circ$
• Б $75^\circ$
• В $95^\circ$
• Г $105^\circ$
• Д $130^\circ$

$(3 - 3x)(x + 1) = $

• А $3 - 3x^2$
• Б $1 - 3x^2$
• В $-3 - 3x^2$
• Г $-3x - 3x^2$
• Д $3 + 6x - 3x^2$

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Скільки прямих, що містять ребра куба, паралельні площині грані $AA_1B_1B$?

• А жодної
• Б лише одна
• В лише три
• Г лише чотири
• Д вісім

Укажіть область визначення функції $y = \log_3 (x + 9)$.

• А $(9;\,+\infty)$
• Б $(-9;\,+\infty)$
• В $(-9;\,0)$
• Г $(0;\,+\infty)$
• Д $(-\infty;\,+\infty)$

Які з наведених тверджень є правильними? I. Існує трапеція, у якій сума довжин основ дорівнює довжині її висоти. II. Існує прямокутна трапеція, у якій суми градусних мір протилежних кутів рівні. III. Існує прямокутна трапеція, у якій сума довжин бічних сторін дорівнює сумі довжин її основ.

• А лише II
• Б лише I та II
• В лише I та III
• Г лише II та III
• Д I, II та III

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{x}{3} < \dfrac{x}{2} + 3$.

• А $(-3;\,+\infty)$
• Б $(-\infty;\,18)$
• В $(-6;\,+\infty)$
• Г $(-18;\,+\infty)$
• Д $(-\infty;\,6)$

На рисунку зображено пляшку кефіру. Інформацію про масу кефіру й масову частку жиру в ньому зазначено на етикетці. Обчисліть масу жиру в цьому кефірі.

• А $2$ г
• Б $450$ г
• В $20$ г
• Г $9$ г
• Д $18$ г

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(1;\,-2;\,5)$ і $B(-9;\,-7;\,7)$. Визначте довжину (модуль) вектора $\vec{c} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$, де $O$ – початок координат.

• А $289$
• Б $\sqrt{129}$
• В $32$
• Г $5$
• Д $17$

$\left|2{,}1 \cdot 10^3 - 50\right| = $

• А $2050$
• Б $1995$
• В $160$
• Г $2150$
• Д $20\,950$

Точки $K$ і $M$ є серединами сторін $BC$ і $CD$ ромба $ABCD$ (див. рисунок). Довжина перпендикуляра, проведеного від точки $C$ до прямої $KM$, дорівнює $6$. Визначте площу ромба $ABCD$, якщо $KM = m$.

• А $36m$
• Б $12m$
• В $48m$
• Г $24m$
• Д $6m$

Послідовність $(b_n)$ задано формулою $n$-го члена $b_n = (-1)^n \cdot n$. Визначте сьомий член $b_7$ цієї послідовності.

• А $7$
• Б $-49$
• В $6$
• Г $-7$
• Д $-8$

Обчисліть $\sqrt[4]{\dfrac{243}{48}}$.

• А $1{,}5$
• Б $0{,}5$
• В $\dfrac{1}{6}$
• Г $1$
• Д $3$

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{(a + 5)^2}{13} = \dfrac{1}{13}$.

• А $6$
• Б $-6;\,-4$
• В $-5;\,4$
• Г $-4$
• Д $-6$

Установіть відповідність між виразом (1–3), де $\pi$ – відома математична константа, та проміжком (А–Д), якому належить його значення.

• 1 $\cos \dfrac{\pi}{3}$
• 2 $\pi - 4$
• 3 $4^{\log_4 \pi}$
• А $[-2;\,-1)$
• Б $[-1;\,0)$
• В $[0;\,1)$
• Г $[1;\,2)$
• Д $[2;\,4)$

Увідповідніть функцію (1–3) та її властивість (А–Д).

• 1 $f(x) = x^2 + 2$
• 2 $f(x) = \sin x$
• 3 $f(x) = x^3$
• А зростає на всій області визначення
• Б спадає на всій області визначення
• В парна
• Г має більше ніж два нулі
• Д графік функції симетричний відносно осі $x$

На паралельних прямих $n$ і $m$ розміщено сторони прямокутника $ABCD$ й паралелограма $DKLM$, вершини $L$ і $Q$ трикутника $LQP$ (див. рисунок). $BC = KL = 6$ см, $AB : BC = 4 : 3$, $LP = PQ$, $\angle LPQ = 60^\circ$, діагональ $KM$ паралелограма й сторона $LQ$ трикутника $LPQ$ перпендикулярні до прямої $n$. Установіть відповідність між фігурою (1–3) та її периметром (А–Д).

• 1 прямокутник $ABCD$
• 2 паралелограм $DKLM$
• 3 трикутник $LPQ$
• А $24$ см
• Б $32$ см
• В $28$ см
• Г $36$ см
• Д $14$ см

Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких для розв'язку $(x_0;\,y_0)$ системи $\begin{cases} 2\sqrt{x} + 3^{y+1} = 5a + 15, \\ \sqrt{x} + 3^y = a + 9 \end{cases}$ справджуються нерівності $x_0 > 0$, $y_0 > 0$.

Похідна лінійної функції $y = f(x)$ дорівнює $8$, графік функції $y = f(x)$ перетинає вісь $y$ у точці з ординатою $-4$. Обчисліть значення $f(-1{,}2)$.

На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по горизонталі відмічено елементи цього ряду, а по вертикалі – їхні частоти. Визначте середнє значення цього ряду даних.

Задано правильну чотирикутну піраміду й циліндр з площею основи $81\pi$ см$^2$. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу основи циліндра. Бічне ребро піраміди утворює з площиною її основи кут $45^\circ$. Обчисліть об'єм (у см$^3$) піраміди.