НМТ з математики, 9 червня 2025

$\dfrac{2}{9} y^{-2} \cdot 3y^4 = $

• А $\dfrac{5}{9} y^2$
• Б $\dfrac{2}{9} y^{-2}$
• В $\dfrac{2}{3} y^{-2}$
• Г $\dfrac{2}{3} y$
• Д $\dfrac{2}{3} y^2$

На рисунку зображено план кав'ярні, у якій $25$ місць (див. план). У той час, коли Соломія зайшла в кав'ярню, у ній були вільні всі місця, окрім місць біля барної стійки. Соломія вибирає місце навмання. Яка ймовірність того, що вибране нею місце буде за круглим столиком?

• А $\dfrac{12}{25}$
• Б $\dfrac{3}{5}$
• В $\dfrac{1}{12}$
• Г $\dfrac{4}{25}$
• Д $\dfrac{1}{5}$

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). $\angle CAD = 23^\circ$. Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

• А $67^\circ$
• Б $136^\circ$
• В $134^\circ$
• Г $124^\circ$
• Д $144^\circ$

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{y}{4} = 2, \\[4pt] x = -2y + 1. \end{cases}$

• А $(-15;\,8)$
• Б $(-5;\,2)$
• В $(-17;\,8)$
• Г $(-3;\,2)$
• Д $(0;\,0{,}5)$

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD$. Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать в площині основи $ABCD$?

• А жодної
• Б лише одна
• В лише дві
• Г лише три
• Д безліч

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-5;\,5]$. Укажіть абсцису $x_0$ точки, у якій дотична до графіка функції, паралельна до осі $x$.

• А $3$
• Б $1$
• В $7$
• Г $-3$
• Д $-1$

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними? I. Довжина $AM$ дорівнює половині довжини сторони $BC$. II. Довжина $AM$ дорівнює відстані від точки $A$ до сторони $BC$. III. Точка $M$ рівновіддалена від точок $B$ і $C$.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та III
• Д лише II та III

$\left|\lg 50 - 2\right| = $

• А $\lg 2$
• Б $\lg 0{,}5$
• В $\lg 48$
• Г $\lg 25$
• Д $\lg 5$

Насадження ялівцю, що займають площу $1$ га, за день виділяють в атмосферу фітонциди масою $30$ кг. Яку масу фітонцидів виділять насадження ялівцю, що ростуть на $2000$ га, за $30$ днів?

• А $1{,}1 \cdot 10^5$ кг
• Б $1{,}8 \cdot 10^6$ кг
• В $1{,}8 \cdot 10^5$ кг
• Г $1{,}8 \cdot 10^7$ кг
• Д $2 \cdot 10^3$ кг

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед, одна з вершин якого збігається з початком координат – точкою $O$, а три ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $K(5;\,1;\,7)$ є вершиною паралелепіпеда. Визначте довжину діагоналі цього паралелепіпеда.

• А $5\sqrt{3}$
• Б $\sqrt{26}$
• В $10\sqrt{3}$
• Г $15$
• Д $13$

Корінь рівняння $\dfrac{1}{0{,}5x - 1} = \dfrac{1}{2}$ належить проміжку

• А $\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$
• Б $\left(\dfrac{\pi}{2};\,\pi\right)$
• В $(\pi;\,5)$
• Г $(5;\,2\pi)$
• Д $(2\pi;\,10)$

У прямокутній трапеції $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Висоти трикутників $BOC$ і $AOD$, проведені з вершини $O$, відносяться як $2 : 5$. $BC = 14$ см. Визначте довжину середньої лінії трапеції $ABCD$.

• А $42$ см
• Б $49$ см
• В $9{,}8$ см
• Г $24{,}5$ см
• Д $21$ см

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x) = 2e^x + 1$.

• А $F(x) = 2e^x + C$
• Б $F(x) = 2e^x + x + C$
• В $F(x) = e^{x^2} + C$
• Г $F(x) = e^{x^2} + x + C$
• Д $F(x) = \dfrac{2e^{x+1}}{x+1} + x + C$

Потенціальну енергію зарядженого плоского конденсатора $W$ визначають за формулою $W = \dfrac{q^2}{2C}$, де $q$ – заряд конденсатора, $C$ – електрична ємність. Виразіть із цієї формули електричну ємність $C$.

• А $C = \dfrac{q^2 W}{2}$
• Б $C = \dfrac{q^2}{2W}$
• В $C = \dfrac{2W}{q^2}$
• Г $C = \dfrac{2}{q^2 W}$
• Д $C = 2Wq^2$

Розв'яжіть нерівність $x^2 + 2x - 24 \ge 0$.

• А $(-\infty;\,-6] \cup [4;\,+\infty)$
• Б $(-\infty;\,-6]$
• В $[-4;\,6]$
• Г $(-\infty;\,-4] \cup [6;\,+\infty)$
• Д $[-6;\,4]$

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$, $O$ – точка перетину його діагоналей. $AB = 6$ см, $AD = 8$ см, $OM$ – перпендикуляр, проведений з точки $O$ до сторони $AD$. Доберіть до геометричної фігури (1–3) її площу (А–Д).

• 1 трикутник $ABD$
• 2 трикутник $AOD$
• 3 п'ятикутник $ABCOM$
• А $12$ см$^2$
• Б $18$ см$^2$
• В $24$ см$^2$
• Г $30$ см$^2$
• Д $36$ см$^2$

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А–Д).

• 1 $y = 2x - 5$
• 2 $y = \log_3 (x - 5)$
• 3 $y = x^2 - 5$
• А графік функції має лише $2$ точки перетину з осями координат
• Б областю значень функції є проміжок $[-5;\,+\infty)$
• В графік функції знаходиться лише в I та II координатних чвертях
• Г областю визначення функції є проміжок $(5;\,+\infty)$
• Д функція спадає на всій області визначення

Доберіть до числового виразу (1–3) його значення (А–Д).

• 1 $\log_3 27$
• 2 $\operatorname{tg} \dfrac{2\pi}{3}$
• 3 $\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} : \left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)$
• А $-3$
• Б $\sqrt{3}$
• В $\dfrac{1}{3}$
• Г $-\sqrt{3}$
• Д $3$

Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких рівняння $\dfrac{2^{4x + 2a - 15} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}} = 0$ має додатний корінь.

Функція $f(x)$ набуває значення $3$ для всіх додатних значень $x$ і значення $1$ – для всіх від'ємних значень $x$. Функція $y = g(x)$ є прямою пропорційністю, а її графік проходить через точку $(1;\,0{,}5)$. Обчисліть значення виразу $\dfrac{5g(-1) + 3f(2)}{f(-1)}$.

В офіс замовляють питну воду, розфасовану в пляшки, що містять $5$, $6$, $10$ і $20$ літрів. У таблиці наведено дані про кількість спожитих пляшок води протягом робочого тижня ($5$ днів). Дві клітинки таблиці порожні. У середньому в офісі споживали $79{,}2$ л води щодня. Скільки пляшок води місткістю $10$ л спожито, якщо їх було втричі більше, ніж пляшок місткістю $6$ л?

Площа поверхні сфери дорівнює $300\pi$ см$^2$. Радіус основи конуса дорівнює радіусу сфери. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом $30^\circ$. Визначте об'єм (у см$^3$) конуса $V$. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}$.