НМТ з математики, 3 червня 2025

Розв'яжіть рівняння $3 - x = 2\dfrac{1}{3}$.

• А $-\dfrac{2}{3}$
• Б $1\dfrac{1}{3}$
• В $\dfrac{2}{3}$
• Г $\dfrac{1}{3}$
• Д $5\dfrac{1}{3}$

На діаграмі відображено інформацію про кількість розрізів за кольорами стрічок, із яких плетуть маскувальні сітки. Білі стовпці діаграми відповідають кількості стрічок зазначеного кольору, використаних для одної сітки влітку, а сірі – восени. За діаграмою визначте різницю між зеленими стрічками влітку та восени.

• А $15$
• Б $20$
• В $25$
• Г $30$
• Д $35$

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з дев'яти стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома сусідніми стрілками.

• А $20°$
• Б $18°$
• В $15°$
• Г $10°$
• Д $9°$

$\left(-2\cdot\sqrt[3]{2}\right)^3 =$

• А $16$
• Б $-4$
• В $8$
• Г $-16$
• Д $-8$

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажіть пряму, що лежить у площині $BB_1C_1$.

• А $AB$
• Б $B_1D_1$
• В $A_1C$
• Г $AD$
• Д $B_1C$

Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції $y = \dfrac{1}{x-5}$.

• А Рисунок А
• Б Рисунок Б
• В Рисунок В
• Г Рисунок Г
• Д Рисунок Д

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.
II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні площі.
III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

• А лише I
• Б лише II
• В лише III
• Г лише I та III
• Д лише II та III

Спростіть вираз $\dfrac{25 - x^2}{x^2 + 5x}$.

• А $\dfrac{5}{x}$
• Б $\dfrac{5-x}{5+x}$
• В $\dfrac{5+x}{x}$
• Г $-\dfrac{5-x}{x}$
• Д $\dfrac{5-x}{x}$

Сірі кульки фасуються по $4$ штуки в коробочки. Яке з наведених чисел може бути загальною кількістю виготовлених кульок, якщо всі вони були повністю розфасовані в такі коробочки?

• А $102$
• Б $106$
• В $112$
• Г $123$
• Д $134$

Визначте модуль (довжину) вектора $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$, якщо $\vec{a}(2;\,1;\,-5)$ і $\vec{b}(-7;\,0;\,3)$.

• А $\sqrt{86}$
• Б $\sqrt{146}$
• В $\sqrt{90}$
• Г $\sqrt{30}$
• Д $20$

Укажіть проміжок, якому належить менший корінь рівняння $x(2x+5) = 2x+5$.

• А $(-\infty;\,-3]$
• Б $(-3;\,-1]$
• В $(-1;\,1]$
• Г $(1;\,3]$
• Д $(3;\,+\infty)$

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ ($AB = CD$). Точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції. Діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO = 5$ см, $OM = 7$ см, $\angle CAD = 30°$. Знайдіть площу цієї трапеції.

• А $144$ см²
• Б $144\sqrt{3}$ см²
• В $288$ см²
• Г $48\sqrt{3}$ см²
• Д $72$ см²

Обчисліть $\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin x\, dx$.

• А $4$
• Б $2$
• В $0$
• Г $-4$
• Д $-2$

$\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^2\alpha =$

• А $\sin^2\alpha$
• Б $\cos 2\alpha$
• В $\cos^2\alpha$
• Г $1$
• Д $\operatorname{tg}^2\alpha$

Розв'яжіть нерівність $3^x \cdot 5^x \le \dfrac{1}{15}$.

• А $(-\infty;\,-1]$
• Б $[1;\,+\infty)$
• В $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{15}\right)$
• Г $(-\infty;\,1]$
• Д $[-1;\,1]$

Точка $O$ – середина діагоналі $AC$ ромба $ABCD$ (див. рисунок). $AK$ – висота ромба, $AK = 12$ см, $BK = 5$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д).

• 1 Сторона ромба
• 2 Радіус кола, вписаного в ромб
• 3 $OK$
• А $6$ см
• Б $12$ см
• В $2\sqrt{13}$ см
• Г $13$ см
• Д $4\sqrt{13}$ см

Установіть відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А–Д).

• 1 $y = x^2$
• 2 $y = x^3 + 1$
• 3 $y = \log_2 x$
• А парна
• Б непарна
• В область визначення функції є проміжок $(0;\,+\infty)$
• Г похідна функції є додатною на проміжку $(-\infty;\,0)$
• Д є спадною на всій області визначення

Установіть відповідність між виразом (1–3) та значенням $m$ (А–Д), за якого значення цього виразу дорівнює $1$.

• 1 $\dfrac{m}{4}$
• 2 $4^6 \cdot 4^{-m}$
• 3 $\log_{16}(2 + m)$
• А $\dfrac{1}{4}$
• Б $8$
• В $4$
• Г $6$
• Д $14$

Знайдіть усі значення $a$, за яких система рівнянь $\begin{cases} 2x + ay = 3, \\ (5a + 6)x + 16y = 24 \end{cases}$ не має розв'язків. Якщо таких значень кілька, то у відповідь запишіть їх добуток.

Функція $y = f(x)$ є прямою пропорційністю на проміжку $(-\infty;\,+\infty)$. Знайдіть значення функції $g(x) = 3f(x) + \dfrac{|x|}{8}$ у точці з абсцисою $x_0 = -2$, якщо графік функції $y = f(x)$ проходить через точку $(2;\,7)$.

Підприємство планує закупити два різні кольорові й три різні монохромні принтери. На ринку є $10$ моделей кольорових й $8$ моделей монохромних принтерів із відповідними характеристиками. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Правильна чотирикутна піраміда й циліндр мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу кола основи циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $600\pi$ см², а площа його основи – $225\pi$ см². Знайдіть об'єм піраміди (у см³).