НМТ з математики 2024

На рисунку відображено зміну густини (мкг/м$^3$) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Укажіть із-поміж наведених проміжок часу (год), упродовж якого густина такого пилу в повітрі лише зменшувалася.

• А $[2;\,6]$
• Б $[8;\,12]$
• В $[12;\,14]$
• Г $[14;\,16]$
• Д $[20;\,24]$

Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100°$, $\angle C = 20°$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B$.

• А $100°$
• Б $90°$
• В $120°$
• Г $80°$
• Д $70°$

Розкладіть вираз $4x^2 - 144$ на множники.

• А $(2x - 12)(2x + 12)$
• Б $(2x - 72)(2x + 72)$
• В $(2x - 12)^2$
• Г $(2x - 72)^2$
• Д $2(x - 6)(x + 6)$

На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.

• А $AD$
• Б $BC$
• В $AC$
• Г $BD$
• Д $AB$

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $|3x + 2| = 2$?

• А $\dfrac{4}{3}$
• Б $-\dfrac{4}{3}$
• В $\dfrac{3}{2}$
• Г $-\dfrac{2}{3}$
• Д $-\dfrac{1}{3}$

Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно $1$ банан, $2$ апельсини та $3$ яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із $24$ фруктів?

• А $4$
• Б $5$
• В $8$
• Г $12$
• Д $18$

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. У яких координатних чвертях розташований графік функції $y = f(x-4)$?

• А лише в I та II
• Б лише в II та III
• В лише в III та IV
• Г лише в I та IV
• Д у всіх чвертях

Обчисліть $\dfrac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}$.

• А $3$
• Б $7$
• В $9$
• Г $21$
• Д $27$

Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює $8$ см, а апофема на $2$ см більша за сторону основи піраміди.

• А $72$ см$^2$
• Б $384$ см$^2$
• В $192$ см$^2$
• Г $120$ см$^2$
• Д $240$ см$^2$

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін.
II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

• А лише II
• Б лише I та III
• В лише II та III
• Г лише I та II
• Д I, II та III

Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 5^{\,x} < 25, \\ 2 - x < 8. \end{cases}$

• А $(2;\,6)$
• Б $(2;\,+\infty)$
• В $(-6;\,5)$
• Г $(-\infty;\,-6)$
• Д $(-6;\,2)$

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Обчисліть значення виразу $a_6 - a_4$.

• А $12$
• Б $10$
• В $-15$
• Г $-10$
• Д $-12$

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $\log_{0{,}2} 125$.

• А $(-\infty;\,-3)$
• Б $[-3;\,0)$
• В $[0;\,3)$
• Г $[3;\,25)$
• Д $[25;\,+\infty)$

Укажіть корінь рівняння $\operatorname{tg}(3x) = -1$.

• А $-\dfrac{\pi}{12}$
• Б $-\dfrac{\pi}{3}$
• В $\dfrac{\pi}{12}$
• Г $-\dfrac{4\pi}{3}$
• Д $-\dfrac{\pi}{4}$

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$. Точка $K$ лежить на стороні $AD$. Визначте довжину сторони $AD$, якщо $BK = d$, $\angle AKB = \alpha$, $\angle KCD = \beta$.

• А $d(\sin\alpha + \cos\alpha\,\operatorname{tg}\beta)$
• Б $d(\cos\alpha + \sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta)$
• В $d\left(\sin\alpha + \dfrac{\cos\alpha}{\operatorname{tg}\beta}\right)$
• Г $d\left(\cos\alpha + \dfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\beta}\right)$
• Д $d(\cos\alpha + \sin\alpha\sin\beta)$

У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану $ABCA$, де $A(-1;\,0)$, $B(0;\,1)$, $C(1;\,0)$. Узгодьте функцію ($1-3$) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної $ABCA$.

• 1 $y = 0$
• 2 $y = 1 - x^2$
• 3 $y = \cos x$
• А жодної
• Б лише одна
• В лише дві
• Г лише три
• Д безліч

Узгодьте вираз ($1-3$) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо $a = 3$.

• 1 $a^{-1}$
• 2 $a^{0}$
• 3 $\sin(\pi a)$
• А є раціональним числом, що не є цілим
• Б є натуральним числом
• В є цілим від'ємним числом
• Г є ірраціональним числом
• Д дорівнює $0$

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює $100$ см. Різниця основ трапеції дорівнює $14$ см. До кожного початку речення ($1-3$) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

• 1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
• 2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює
• 3 Довжина висоти трапеції дорівнює
• А $18$ см.
• Б $24$ см.
• В $25$ см.
• Г $32$ см.
• Д $36$ см.

Обчисліть інтеграл $\displaystyle\int\limits_{3}^{5} \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\,dx$.

Сергій купив $4$ чорні, $6$ червоних і $n$ синіх ручок по $27$ грн, $15$ грн і $10$ грн кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за $13$ грн. Укажіть найменше можливе значення $n$.

У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Діагоналі основи $ABCD$ перетинаються в точці $M$. Висота призми втричі більша за сторону $AB$. Обчисліть об'єм цієї призми, якщо $A(4;\,\sqrt{10};\,3)$, $M(-2;\,0;\,1)$.

Знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $\dfrac{x^2 - ax + 4}{x - 5} = 0$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.