Первісна $F$ – функція, похідна якої дає $f$ (тобто $F' = f$). Загальний вигляд усіх первісних – $F(x) + C$.
Основні: для $\cos x$ первісна $\sin x$; для $\sin x$ первісна $-\cos x$; для $e^x$ знову $e^x$; для $x^n$ – $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
Ньютон–Лейбніц: $\displaystyle\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$.
У загальному вигляді не губи $+C$, а первісна сталої $1$ – це $x$, не $0$.
Сталий множник виноситься: $\displaystyle\int_1^5 3f\,dx = 3\int_1^5 f\,dx$.
$\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin x\,dx = [-2\cos x]_0^{\pi} = -2\cos\pi + 2\cos 0 = 2 + 2 = 4$.