У довідкових матеріалах НМТ є і формула Ньютона–Лейбніца, і таблиця первісних, де $e^x$ стоїть окремим рядком. Тобто нічого з цього вчити напам'ять не треба: і те, що первісна для $e^x$ це знову $e^x$, і те, що визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної на кінцях, лежить перед очима.
Чого в довідкових матеріалах немає – нагадування, що це саме різниця і що віднімають від верхньої межі нижню. Саме тут завдання й забирає бали: на цій задачі хибну відповідь обрало більше людей, ніж правильну.
Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y = e^{\,x}$, осями координат і прямою $x = 1$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант А. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали А, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Первісна знайдена правильно, межі підставлені правильно, а далі замість різниці записали суму:
$$e^1 + e^0 = e + 1$$
Помилка не в інтегруванні, а в останньому рядку. Її видно по тому, що відповідь більша за $e$: площа фігури, яка вся вміщується в прямокутник висотою $e$ і шириною $1$, більшою за $e$ бути не може. Це найдешевша перевірка з усіх, і вона займає секунду.
$$e^0 - e^1 = 1 - e$$
Тут формулу застосовано, але межі поміняно місцями. Відповідь виходить від'ємна, приблизно $-1{,}7$, а площа від'ємною не буває. Знак мінус перед відповіддю на площу – це завжди сигнал, що межі переставлено.
$$e^1 = e$$
Порахували значення первісної у верхній межі й на цьому спинилися. Так буває, коли нижня межа нульова: здається, що нуль нічого не дає. Але первісна в нулі дорівнює не нулю, а $e^0 = 1$, і цю одиницю треба відняти.
$$S = 1$$
Відповідь, яку дає погляд на рисунок замість обчислення: фігура стоїть на відрізку завдовжки $1$, і її площу переплутали з шириною. Насправді висота криволінійної трапеції змінюється від $1$ до $e$, тож і площа лежить між цими числами.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай, чому в нього вийшло більше за $e$. Криволінійна трапеція цілком вміщується в прямокутник зі сторонами $1$ і $e$, тобто її площа менша за $e \approx 2{,}72$. Відповідь $e + 1 \approx 3{,}72$ цієї межі не проходить, і побачити це можна, не рахуючи інтеграла взагалі.
Потім поверни до самої формули. Ньютон–Лейбніц це $F(b) - F(a)$, а не $F(b) + F(a)$. Тут $F(x) = e^x$, $b = 1$, $a = 0$:
$$S = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72$$
І це число справді лежить між $1$ і $e$, як і має лежати.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Площа фігури, обмеженої графіком $y = e^x$, осями координат і прямою $x = 2$.
Первісна $F(x) = e^x$. Тоді $S = F(2) - F(0) = e^2 - e^0 = e^2 - 1$.
Перевірка межами: висота змінюється від $1$ до $e^2 \approx 7{,}39$, ширина $2$, отже площа між $2$ і $14{,}8$. Наше $e^2 - 1 \approx 6{,}39$ туди потрапляє.
Та сама фігура, але до прямої $x = 3$. Первісна $F(x) = e^x$, межі $0$ і $3$, отже $S = e^3 - \ldots$. Допиши другий доданок і знак між ними.
Знайди площу фігури, обмеженої графіком $y = e^x$, віссю $x$ і прямими $x = 1$ та $x = 2$. Тут нижня межа вже не нульова, тож перевір себе: чи відняв ти саме значення в нижній межі.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.