Правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ є в довідкових матеріалах НМТ, у розділі про степені. Дивитись туди можна будь-коли.
Тому вся задача – це дві окремі дії: помножити числа й додати показники. Кожна з них має свою пастку, і кожна вартує однакового бала.
Спростіть вираз $0{,}6x^3 \cdot 5x^4$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Б. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – А. А найбільше учасників обрали Б, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Г: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Показник правильний, число – ні:
$$6 \cdot 5 = 30, \qquad \text{але } 0{,}6 \cdot 5 = 3$$
Коефіцієнт тут $0{,}6$, а не $6$. Найшвидша перевірка: множили на $5$, отже відповідь мусить бути в пʼять разів більша за $0{,}6$, тобто близько трьох, а не тридцяти.
Число правильне, показник – ні: $3 \cdot 4 = 12$ замість $3 + 4 = 7$.
Множаться самі степені, а показники при цьому додаються. Це видно, якщо розписати:
$$x^3 \cdot x^4 = (x \cdot x \cdot x)(x \cdot x \cdot x \cdot x) = x^7$$
Сімка тут – це просто кількість іксів. Множення показників дає інше правило: $\left(x^3\right)^4 = x^{12}$, і воно про степінь степеня.
$0{,}6 \cdot 5$ порахували як $0{,}3$ (тобто множили не на $5$, а на $0{,}5$), і показники теж помножили. Дві незалежні хиби в одному варіанті.
Коли задача складається з двох дій, перевіряй їх окремо: спершу тільки числа, потім тільки показники. Разом вони маскують одна одну.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Візьми $x = 1$ і підстав у вираз та у відповідь.
Вихідний вираз дає $0{,}6 \cdot 5 = 3$. Тепер його відповідь: $30x^7$ при $x = 1$ дорівнює $30$. Тридцять не дорівнює трьом, отже вираз спрощено неправильно.
Так само ловиться й показник, тільки для нього треба $x = 2$: вихідний вираз дає $0{,}6 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 16 = 384$, а $3 \cdot 2^{12} = 12288$. Підстановка одного числа перевіряє все спрощення відразу.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
$0{,}4x^2 \cdot 5x^3$.
Числа: $0{,}4 \cdot 5 = 2$. Показники додаємо: $2 + 3 = 5$. Разом: $2x^5$.
$0{,}2x^5 \cdot 4x^2$.
Числа: $0{,}2 \cdot 4 = 0{,}8$. Показники: $5 + 2$. Допиши відповідь.
$1{,}5x^4 \cdot 6x^3$, а потім окремо $\left(1{,}5x^4\right)^2$. Порівняй, де показники додаються, а де множаться.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.