Властивості степенів у довідкових матеріалах НМТ є. Того, що вирішує задачу, там немає: коли основа більша за одиницю, показники порівнюються в тому самому напрямі, що й самі степені.
І друге, про що забувають частіше за перше: система означає, що обидві умови мусять виконуватися одночасно. Тобто відповідь це перетин двох проміжків, а не будь-який із них окремо.
Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 5^{\,x} < 25, \\ 2 - x < 8. \end{cases}$
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант В. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали В, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Найдорожча хиба задачі. Відповідь $(-6;\,5)$ означає, що другу нерівність розв'язали правильно, а з першої взяли $x < 5$ замість $x < 2$.
П'ятірка тут звідусіль: вона і в основі степеня, і всередині числа $25$. Але показник шукається інакше:
$$5^{\,x} < 25 = 5^2,$$
і порівнюються саме показники: $x < 2$. Число $5$ – це основа, а не межа для $x$.
Перевірка займає секунду: підстав $x = 4$, яке в проміжок В входить. Тоді $5^4 = 625$, а це більше за $25$. Отже четвірка умові не задовольняє, і проміжок хибний.
Відповідь $(2;\,6)$ це дзеркало правильної: замість $x < 2$ узяли $x > 2$, замість $x > -6$ узяли $x < 6$.
Друга нерівність тут особливо підступна. У ній $2 - x < 8$, і при перенесенні виходить $-x < 6$. Ділити на $-1$ треба зі зміною знака: $x > -6$. Саме цей крок і губиться.
$(-\infty;\,-6)$ – це те, що вийде, якщо в другій нерівності поділити на $-1$, не змінивши знака, і при цьому забути про першу умову зовсім.
$(2;\,+\infty)$ – перша нерівність зі зміненим напрямом і без перетину з другою. Нагадаю: основа $5$ більша за одиницю, тому напрям зберігається.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Не розв'язуй систему цілком – попроси перевірити одне число.
Візьми $x = 4$. Перша умова: $5^4 = 625$, і це більше за $25$, отже четвірка НЕ підходить. Тепер подивись, у які з варіантів вона входить: у $(-6;\,5)$, у $(2;\,6)$ і в $(2;\,+\infty)$. Усі три відпадають одразу.
Далі візьми $x = -7$. Друга умова: $2 - (-7) = 9$, і це більше за $8$, отже теж не підходить. Відпадає $(-\infty;\,-6)$.
Лишається один проміжок, і ми ще нічого не розв'язували. Тоді можна показати й сам хід:
$$5^{\,x} < 5^2 \Rightarrow x < 2, \qquad 2 - x < 8 \Rightarrow x > -6,$$
і перетин дає $(-6;\,2)$.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Розв'язати систему $3^{\,x} < 81$, $1 - x < 5$.
Перша: $81 = 3^4$, основа більша за одиницю, отже $x < 4$. Друга: $-x < 4$, ділимо на $-1$ зі зміною знака, отже $x > -4$. Перетин: $(-4;\,4)$.
Перевірка: $x = 0$ входить, і справді $3^0 = 1 < 81$, $1 - 0 = 1 < 5$.
Розв'яжи $2^{\,x} < 32$ і $3 - x < 10$ окремо, а тоді візьми перетин. Не забудь змінити знак у другій.
Розв'яжи систему $4^{\,x} \leqslant 64$, $5 - x < 9$ і перевір відповідь підстановкою однієї точки зсередини та однієї ззовні.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.