Нерівності трикутника в довідкових матеріалах НМТ немає, як немає й теореми про кут навпроти більшої сторони. Це базові факти, які треба знати.
Але справжня складність тут не в них. Завдання перевіряє не знання трьох тверджень, а готовність перевірити кожне окремо, замість упізнати знайоме формулювання й погодитись. Саме на цьому втрачають бали: твердження I звучить як нерівність трикутника, і його впізнають, не читаючи до кінця.
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.
II. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за $90°$.
III. Навпроти найбільшої сторони трикутника знаходиться найбільший кут.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Г. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – В. А найбільше учасників обрали Г, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Д: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Твердження I каже, що сума двох сторін менша за третю. Справжня нерівність трикутника каже протилежне: сума двох сторін більша за третю.
Перевірити це можна на будь-якому трикутнику. Візьми сторони $3$, $4$, $5$:
$$3 + 4 = 7 > 5$$
Якби сума двох сторін була меншою за третю, трикутник просто не замкнувся б: двох коротких сторін не вистачило б дотягнутися до кінців довгої.
Ця хиба найдорожча, бо разом із правильним твердженням III дає варіант, що виглядає ретельно обраним.
Твердження II каже, що сума будь-яких двох кутів більша за $90°$. Міркують так: усі три кути дають $180°$, отже два з них дають більше за половину.
Це вірно для середнього, а не для будь-яких двох. Візьми трикутник із кутами $20°$, $30°$, $130°$:
$$20° + 30° = 50° < 90°$$
Один тупий кут забирає собі майже все, і двом іншим лишається менше за $90°$. Тому твердження хибне.
Той самий хибний факт, що й у Г, але цього разу відкинуто ще й правильне твердження III. Тут варто перевірити саме III, бо його часто відкидають через незвичне формулювання: «навпроти найбільшої сторони – найбільший кут».
Подивись на прямокутний трикутник: найбільша сторона це гіпотенуза, і навпроти неї стоїть прямий кут, найбільший у цьому трикутнику. Твердження правильне.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Попроси перевірити твердження I на числах, а не на пам'яті. Сторони $3$, $4$, $5$ дають трикутник, і $3 + 4 = 7$, що більше за $5$. Отже сума двох сторін більша за третю, а не менша, і твердження I хибне.
Якщо він відповідає «ну так, нерівність трикутника ж є» – саме в цьому й річ. Нерівність є, але в задачі її записали навпаки, і впізнавання підвело замість перевірки.
Далі спитай про II. Досить одного трикутника з тупим кутом, щоб воно розсипалось: $20°$ і $30°$ у сумі дають менше за $90°$.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Чи існує трикутник зі сторонами $2$, $3$, $6$?
Перевіряємо нерівність трикутника для найдовшої сторони: $2 + 3 = 5$, а це менше за $6$. Сума двох сторін вийшла меншою за третю, отже такого трикутника не існує.
Чи існує трикутник зі сторонами $4$, $5$, $8$? Порівняй $4 + 5$ з $8$ і зроби висновок.
У трикутнику кути $100°$, $50°$, $30°$. Знайди пару кутів, сума яких менша за $90°$, і назви сторону, навпроти якої лежить найбільший кут.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.