Формула $n$-го члена арифметичної прогресії в довідкових матеріалах НМТ є, і цього досить: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Але швидше працює наслідок із неї, якого там немає прямо: різниця двох членів дорівнює різниці прогресії, помноженій на різницю номерів.
$$a_m - a_k = (m - k)d$$
Уся задача в тому, щоб правильно порахувати цю різницю номерів. Саме на ній і втрачають бали: між шостим і першим членом п'ять кроків, а не шість.
В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Обчисліть значення виразу $a_6 - a_4$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Г. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали Г, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти В: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $-10$ виходить так: $-30 : 6 = -5$, а тоді $2 \cdot (-5) = -10$.
Тобто різницю прогресії шукали діленням на $6$, бо в умові стоїть $a_6$. Але шісток тут немає: від першого члена до шостого прогресія робить п'ять кроків, а не шість.
Порахуй пальцями: $a_1 \to a_2 \to a_3 \to a_4 \to a_5 \to a_6$. Стрілок п'ять. Тому $5d = -30$ і $d = -6$.
Відповідь $-15$ це $-30 : 2$. Так буває, коли міркують «від шостого до четвертого вдвічі ближче, ніж від шостого до першого, отже вдвічі менше».
Але «вдвічі ближче» тут неправда: від шостого до першого п'ять кроків, від шостого до четвертого два. Відношення $2:5$, а не $1:2$. Правильна відповідь складає дві п'ятих від $-30$, тобто $-12$.
### Б і А. Загубили знак
Відповіді $10$ і $12$ це ті самі числа, що й у попередніх хибах, лише додатні. Різниця прогресії від'ємна ($d = -6$), тож прогресія спадає, і пізніший член менший за ранній.
Отже $a_6 - a_4$ мусить бути від'ємним. Це видно ще до обчислень, з одного лише знака в умові.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Попроси намалювати шість кружечків і підписати їх $a_1 \ldots a_6$, а потім провести стрілки між сусідніми.
Між першим і шостим стрілок виходить п'ять, і питання «ділити на п'ять чи на шість» зникає саме собою. Звідси $d = -30 : 5 = -6$.
Тоді покажи другу частину: між четвертим і шостим стрілок дві, отже
$$a_6 - a_4 = 2d = 2 \cdot (-6) = -12.$$
Якщо він сумнівається, запропонуй виписати саму прогресію з будь-яким першим членом. Нехай $a_1 = 0$: тоді $0,\ -6,\ -12,\ -18,\ -24,\ -30$. Перевіряємо: $a_6 - a_1 = -30 - 0 = -30$, як в умові. І $a_6 - a_4 = -30 - (-18) = -12$.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
В арифметичній прогресії $a_7 - a_2 = 20$. Знайти $a_7 - a_5$.
Від другого до сьомого п'ять кроків: $5d = 20$, отже $d = 4$. Від п'ятого до сьомого кроків два: $a_7 - a_5 = 2d = 8$.
В арифметичній прогресії $a_9 - a_1 = -24$. Порахуй кількість кроків між першим і дев'ятим, знайди $d$, а тоді обчисли $a_9 - a_6$.
В арифметичній прогресії $a_{10} - a_4 = 18$. Знайди $a_8 - a_5$ і скажи, чи прогресія зростає, чи спадає.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.