У довідкових матеріалах НМТ є формули для циліндра, але означень там немає. Потрібне одне: твірна циліндра – відрізок, що з'єднує точки верхнього й нижнього кіл і перпендикулярний до основ. Простіше кажучи, це «бік» циліндра.
Складність тут не в означенні, а в рисунку. Осьовий переріз намальовано в перспективі, і вершини прямокутника стоять не так, як звикли: $A$ і $D$ угорі, $B$ і $C$ унизу, причому $A$ над $B$, а $D$ над $C$. Хто читає підписи за звичкою, а не за рисунком, обирає сусідній відрізок.
На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант А. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Д. А найбільше учасників обрали А, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відрізок $AD$ з'єднує дві точки верхнього кола, отже це діаметр верхньої основи, а не твірна. Обидва його кінці лежать в одній площині.
Ознака проста: твірна йде з верхньої основи в нижню. Якщо обидва кінці відрізка вгорі або обидва внизу, це діаметр.
$BC$ – те саме, тільки внизу: обидві точки на нижньому колі. Це діаметр нижньої основи.
Разом варіанти А і Б забрали третину відповідей, і причина спільна: у прямокутнику $ABCD$ сторони $AD$ і $BC$ виглядають «боками» за звичною розкладкою вершин, але на цьому рисунку вони основи.
$AC$ з'єднує верхню точку з нижньою – уже краще. Але $A$ і $C$ лежать на протилежних боках циліндра, тож відрізок проходить усередині тіла навскіс.
Твірна перпендикулярна до основ, а діагональ нахилена. Її довжину, до речі, рахують за теоремою Піфагора через твірну й діаметр.
$BD$ – дзеркальна до попередньої, та сама причина.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Постав на стіл склянку й попроси показати пальцем твірну.
Палець одразу лягає вздовж боку, згори вниз. Тоді спитай: «А тепер знайди цей самий відрізок на рисунку». Шукати доведеться дві вершини, з яких одна рівно над другою.
За рисунком це $A$ і $B$: $A$ угорі праворуч, $B$ унизу праворуч. Отже твірна – $AB$.
Корисно проговорити й перевірку для всіх п'яти варіантів одразу: подивись на кінці відрізка. Обидва вгорі або обидва внизу – діаметр. Один угорі, другий унизу, але на протилежних боках – діагональ. І лише один варіант лишається твірною.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
В осьовому перерізі циліндра – прямокутник $KLMN$, де $K$ і $L$ лежать на верхньому колі, $M$ і $N$ на нижньому, причому $L$ над $M$. Який відрізок є твірною?
Обидва кінці мають бути на різних основах і на одному боці. $K$ і $L$ угорі – це діаметр. Пара $L$ і $M$ підходить: $L$ угорі, $M$ під ним. Твірна – $LM$.
У тому самому перерізі $K$ стоїть над $N$. Назви ще одну твірну й скажи, чому $KM$ нею не є.
Циліндр має радіус $3$ і твірну $4$. Знайди довжину діагоналі осьового перерізу. Згадай, що діаметр удвічі більший за радіус.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.