Формули скороченого множення в довідкових матеріалах НМТ є, обидві потрібні тут:
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$
Труднощі не в тому, щоб їх згадати, а в тому, щоб узяти потрібну. Вираз $4x^2 - 144$ це різниця квадратів, а не квадрат різниці, і найдорожча хиба задачі саме в цій підміні.
Розкладіть вираз $4x^2 - 144$ на множники.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант В. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – А. А найбільше учасників обрали В, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $(2x - 12)^2$ – формула переплутана. Розкрий її й побачиш, що вийшло:
$$(2x - 12)^2 = 4x^2 - 48x + 144.$$
З'явився середній доданок $-48x$, якого в умові немає, і знак перед $144$ став плюсом. Отже це інший вираз.
Розрізняти формули просто за кількістю доданків: різниця квадратів має два доданки й розкладається на два різні множники, а квадрат різниці має три доданки.
### Б і Г. Поділили сто сорок чотири навпіл
Відповіді з числом $72$ з'являються тому, що $144 : 2 = 72$. Але в формулі потрібен не половина, а корінь: шукаємо $b$, для якого $b^2 = 144$, і це $12$.
Перевірка миттєва: $72^2 = 5184$, а не $144$.
$2(x - 6)(x + 6)$ виглядає правдоподібно, бо там і множник, і різниця квадратів. Але перемнож:
$$2(x - 6)(x + 6) = 2(x^2 - 36) = 2x^2 - 72.$$
Вийшло $2x^2$, а треба $4x^2$. Двійку винесли з $4x^2$ як зі звичайного множника, забувши, що виносити з квадрата треба з урахуванням степеня.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Запропонуй перевірку, яка не потребує формул зовсім: підстав число.
Візьми $x = 0$. Вихідний вираз дає $-144$. Тепер варіанти:
Одна підстановка відсіює три варіанти з чотирьох, і сперечатися про формули не доводиться.
Потім покажи саму формулу. Обидва доданки – квадрати:
$$4x^2 = (2x)^2, \qquad 144 = 12^2,$$
тому
$$4x^2 - 144 = (2x)^2 - 12^2 = (2x - 12)(2x + 12).$$
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Розкласти на множники $9x^2 - 25$.
Обидва доданки квадрати: $9x^2 = (3x)^2$, $25 = 5^2$. За формулою різниці квадратів
$$9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5).$$
Перевірка при $x = 0$: вихідний вираз дає $-25$, розклад дає $(-5) \cdot 5 = -25$ – збігається.
Розклади $16x^2 - 81$. Запиши $16x^2$ і $81$ як квадрати, а тоді підстав у формулу.
Розклади $49x^2 - 100$ і перевір підстановкою $x = 1$. Потім скажи, чим відрізняється розклад виразу $49x^2 + 100$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.