У довідкових матеріалах НМТ теорем про кути трикутника немає. Потрібен один факт, і його варто знати напам'ять:
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних із ним.
Без нього задача теж розв'язується, просто довше: знайти внутрішній кут при тій самій вершині як суміжний, а тоді відняти від $180°$. Обидва шляхи приводять до того самого.
Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100°$, $\angle C = 20°$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B$.
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Д. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Г. А найбільше учасників обрали Д, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
$70°$ – це $90° - 20°$. Так виходить, коли кут при вершині $A$ вважають прямим, хоч про це в умові не сказано й на рисунку прямого кута немає.
Внутрішній кут при $A$ насправді дорівнює $180° - 100° = 80°$, бо він суміжний із зовнішнім. Звідси
$$\angle B = 180° - 80° - 20° = 80°.$$
$120°$ – це $100° + 20°$. Зовнішній кут справді дорівнює сумі двох внутрішніх, і саме тому додавати треба не до нього, а всередині нього:
$$100° = \angle B + \angle C = \angle B + 20°.$$
Тобто з зовнішнього кута $20°$ віднімають, а не додають.
$90°$ з'являється, коли шуканий кут просто вважають прямим. Ні умова, ні рисунок цього не дають: на рисунку кут при $B$ гострий на вигляд, а сума $100° + 20°$ уже перевищує $90°$.
$100°$ – це сам зовнішній кут з умови. Він стоїть при вершині $A$, а питали кут при вершині $B$.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Покажи на рисунку, які саме два кути «складаються» в зовнішній.
Зовнішній кут при $A$ не суміжний із кутами $B$ і $C$, отже дорівнює їхній сумі. Один із доданків відомий:
$$100° = \angle B + 20°,$$
звідки $\angle B = 80°$.
Якщо теорема не згадується, пройди довшим шляхом – він теж короткий. Внутрішній кут при $A$ суміжний із зовнішнім, отже $180° - 100° = 80°$. Сума всіх трьох кутів $180°$:
$$\angle B = 180° - 80° - 20° = 80°.$$
Обидва шляхи дали $80°$, і це вже перевірка.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Зовнішній кут при вершині $A$ дорівнює $130°$, $\angle C = 50°$. Знайти $\angle B$.
Зовнішній кут дорівнює сумі двох не суміжних із ним внутрішніх: $130° = \angle B + 50°$, отже $\angle B = 80°$.
Перевірка довшим шляхом: внутрішній кут при $A$ дорівнює $180° - 130° = 50°$, тоді $\angle B = 180° - 50° - 50° = 80°$ – збігається.
Зовнішній кут при вершині $A$ дорівнює $115°$, $\angle C = 35°$. Відніми відоме від зовнішнього й запиши $\angle B$.
Зовнішній кут при вершині $A$ дорівнює $140°$, $\angle B = 95°$. Знайди $\angle C$ і перевір результат через суму кутів трикутника.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.