Таблиця похідних у довідкових матеріалах НМТ є, і рядок про степінь теж: $(x^n)' = n x^{n-1}$.
Чого там немає – зв'язку з фізикою. Треба знати самому: швидкість це похідна координати за часом. Хто цього не згадає, шукатиме серед варіантів на око, а там половина – первісні, а не похідні.
Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t) = 6t^2$, де $x(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$?
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант А. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – Б. А найбільше учасників обрали А, і це теж хиба.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Відповідь $6t$ виходить, коли з $6t^2$ просто викреслюють двійку зверху. Коефіцієнт $6$ лишили, степінь знизили – а помножити на показник забули.
Правило працює у два кроки, і обидва обов'язкові:
$$\left(6t^2\right)' = 6 \cdot \underbrace{2}_{\text{опустили показник}} \cdot\, t^{\,2-1} = 12t.$$
### Г і В. Узяли первісну замість похідної
Варіанти $6t^3$ і $2t^3$ мають степінь вищий за вихідний. Похідна степінь знижує, підвищує його інтегрування.
$2t^3$ – це якраз первісна для $6t^2$: справді, $\left(2t^3\right)' = 6t^2$. Тобто дію виконано в протилежний бік.
Ознака, яку варто запам'ятати: якщо в задачі на похідну відповідь має вищий степінь, ніж умова, дію переплутано.
Відповідь $3t$ виходить, коли замість множення на показник виконали ділення: $6 : 2 = 3$. Показник опускається множником, а не дільником.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Спитай не про формулу, а про степінь. «Твоя відповідь має $t$ у якому степені? А умова?»
Похідна знижує степінь на одиницю: було $t^2$, отже стане $t^1$. Варіанти з $t^3$ відпадають, не дивлячись на коефіцієнт – а це вже два з п'яти.
Далі лишається питання коефіцієнта. Показник $2$ опускається множником до наявної шістки:
$$6 \cdot 2 = 12,$$
тому $v(t) = 12t$. Варіанти $6t$ і $3t$ означають, що множення або не зробили, або зробили навпаки.
Перевірити себе можна зворотним ходом: візьми свою відповідь і знайди для неї первісну. Для $12t$ це $6t^2$ – збігається з умовою.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Точка рухається за законом $x(t) = 5t^2$. Знайти швидкість.
Похідна: показник $2$ опускаємо множником, степінь знижуємо на одиницю:
$$v(t) = \left(5t^2\right)' = 5 \cdot 2 \cdot t = 10t.$$
Перевірка зворотним ходом: первісна для $10t$ дорівнює $5t^2$ – збігається.
Закон руху $x(t) = 4t^3$. Опусти показник множником до четвірки й знизь степінь на одиницю. Запиши $v(t)$.
Закон руху $x(t) = 3t^2 + 2t$. Знайди $v(t)$, а тоді обчисли швидкість у момент $t = 2$.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.