У довідкових матеріалах НМТ є формули об'ємів і площ поверхонь, але немає того, що потрібне тут: як тіла обертання взагалі утворюються.
Правило коротке. Обертаємо плоску фігуру навколо прямої; кожна точка описує коло, радіус якого дорівнює відстані від точки до цієї прямої. Щоб вийшов циліндр, радіус має лишатися сталим по всій висоті. Це і є ключ до всіх п'яти варіантів.
Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…
Наскільки ти впевнений?
Про впевненість питаємо не для балів. Помилку, зроблену впевнено, запам'ятовують найміцніше – але тільки якщо правду показати одразу.
Ти серед тих, хто відповів правильно. Найпопулярнішою при цьому виявилась хибна відповідь – варіант Б. Варто знати, у що вірили вони.
Ти не сам. Це найпопулярніша відповідь у країні, і вона хибна. Обчислення в ній зазвичай бездоганне – питання лише в тому, що саме порахували.
Правильний варіант – А. А найбільше учасників обрали Б, і це теж хиба.
Без відсотка лишились варіанти Г: у зошиті, за яким рахували статистику, їх не було.
Дані: офіційний звіт УЦОЯО про проведення НМТ, психометричні характеристики завдань.
Найдорожча хиба задачі. Прямокутник справді дає циліндр – але лише коли вісь іде по його стороні.
Діагональ ділить прямокутник на два трикутники, і відстань від точок прямокутника до діагоналі змінюється: біля кінців діагоналі вона нульова, а посередині найбільша. Отже радіус не сталий, і тіло виходить не циліндром, а фігурою з перехватом посередині.
Тут та сама причина. Відстань від точок трикутника до гіпотенузи змінюється від нуля на кінцях до висоти трикутника посередині.
Виходить не циліндр, а два конуси, складені основами.
Це найближчий до правди варіант, і саме тому спокусливий: тіло справді виходить гарне й знайоме. Але це конус.
Другий катет описує коло основи, а гіпотенуза дає бічну поверхню, що звужується до вершини. Радіус змінюється від нуля до довжини катета, тобто сталим не є.
Квадрат тут правильний, а вісь ні. Навколо діагоналі квадрат дає два конуси, складені основами, так само як трикутник навколо гіпотенузи.
Варто помітити, що варіанти А і Д відрізняються одним словом. Саме воно й вирішує, і читати його треба уважно.
Знати правильну відповідь – півділа. Хто вміє пояснити, чому чужа відповідь хибна, той у цю пастку більше не потрапляє.
Візьми аркуш і олівець. Приклади олівець до сторони аркуша й прокрути – аркуш обмете циліндр, бо кожна його точка лишається на сталій відстані від олівця по всій висоті.
Тепер приклади олівець по діагоналі й прокрути ще раз. Видно, що фігура виходить із перехватом: посередині широка, до кінців сходить нанівець.
Далі спитай про трикутник навколо катета. Більшість упізнає конус одразу, як тільки уявить обертання, а не запис.
І скажіть уголос те, що з цього виходить: циліндр утворюється тоді, і лише тоді, коли вісь іде вздовж сторони фігури, а протилежна сторона рухається на сталій відстані від неї.
Спершу дивишся на готове, потім дописуєш кінець, потім робиш сам.
Яке тіло утворює прямокутник зі сторонами $3$ і $5$, обернений навколо сторони завдовжки $5$?
Сторона $5$ – вісь, вона нерухома. Протилежна сторона на відстані $3$ описує коло радіуса $3$. Радіус сталий по всій висоті, отже це циліндр із радіусом $3$ і висотою $5$.
Той самий прямокутник обертають навколо сторони завдовжки $3$. Назви тіло та його радіус і висоту.
Прямокутний трикутник із катетами $6$ і $8$ обертають навколо катета $6$. Назви тіло, його радіус і висоту. Потім скажи, що вийде, якщо обертати навколо гіпотенузи.
Повторна спроба одразу після розбору – саме те, що не дає старій помилці повернутися через тиждень.